Снежинка Коха с карандашом и линейкой

Старшие классы: математика, геометрия, фракталы, кривая Коха.

Цель:

Доказать возможность построения бесконечного геометрического объекта вручную.

Исследуемые вопросы:

• Возможно ли установить геометрические параметры для бесконечного объекта?

• Может ли геометрический объект одновременно иметь конечные и бесконечные свойства?

Введение:

Несмотря на то. Что углубленное изучение фракталов до компьютеров было невозможно, теория снежинки Коха не нова. Шведский математик Хельге фон Кох открыл фракталы в начале XX века. Сегодня вы можете воссоздать и изучить его «снежинку» на бумаге.

Материалы:

• Большой лист бумаги (А3 или ватман). Можно также рисовать во дворе школы мелом.

• Линейка

• Компьютер

• Карандаш

• Ластик

Ход эксперимента:

В центре листа при помощи карандаша и линейки постройте равносторонний треугольник.

1. Разделите каждую сторону треугольника на три равные части и сотрите получившиеся средние отрезки.

2. На месте образовавшихся пробелов постройте новые равносторонние треугольники. В итоге у вас должна получится фигура, похожая на звезду Давида.

3. Каждую сторону звезды вновь поделите на три равные части. Повторяйте 1 - 3 операции до тех пор, пока у вас есть возможность строить треугольники. В итоге должна получиться очень сложная снежинка.

Компьютер может бесконечно повторять эту операцию, человек же ограничен ресурсами.

4. Опираясь на алгоритм создания снежинки, отразите ее свойства в уравнении.

5. Площадь треугольника, при стороне равной (s^2(√3))/4. Используя эту информацию, попытайтесь выяснить площадь вашего объекта

6. Найдите периметр вашего объекта.

7. Проанализируйте данные. Какая геометрическая характеристики конечна, а какая бесконечна? Верно ли то, что периметр объекта постоянно увеличивается? А как ведет себя площадь?

Автор: Barry Eitel